Longitud de arco de una curva

La longitud de arco es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Las primeras mediciones se hicieron posibles a través de aproximaciones trazando un polígono dentro de la curva y calculando la longitud de los lados de éste para obtener un valor aproximado de la longitud de la curva. Mientras se usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno, se obtenía una aproximación cada vez mejor.

 

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible, como lo muestra la siguiente figura:




Para determinar formalmente la longitud L del arco de una curva con ecuación y= f(x), comprendida entre los puntos  A(a,f(a)) y B(b,f(b))  se considera la siguiente figura:




Como se muestra, el arco AB se divide en n partes, uniendo luego los sucesivos puntos de división por segmentos rectilíneos. Por ejemplo, el segmento DE tendrá como longitud:


Si se aumenta indefinidamente el número de puntos de división, entonces las longitudes de los segmentos tienden a cero, por lo que el

Resulta ser el arco AB, siempre que el límite exista.

 

Para expresar el límite como una integral se considera que la función y=(f), sea continua y posea derivada continua en cada punto de la curva, desde A(a,f(a)), hasta B(b,f(b)) Luego, por el teorema del valor medio del cálculo diferencia


La longitud del arco, de la curva f(x), comprendida entre las abscisas x=a y x=b viene dado por la integral definida:


matematicas















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