Funciones (Continuas, Discontinuas)

                                                                                                   Oscar Manuel Valdez Gonzalez

Día de Clase: 09/30/2023

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x=a si "y" solo se cumple las tres condiciones siguientes:

1.- Que el punto x=a tenga imagen f(a)

2.- Que existe el limite de la función de x=a

3.-Que la imagen el punto coincida con el limite de la función en el punto 

Nota: El limite izquierdo y el limite derecho tienen que ser iguales a la imagen

Continuidad de una función

Intuitivamente, es fácil captar el concepto de continuidad. En términos sencillos, puede decirse que una función real de variable real es continua en un intervalo cuando se puede dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz. La descripción matemática de esta idea intuitiva recurre al uso de la noción de límite.

Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes:

• La función existe en a.
• Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.
• El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:
  

Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el punto.

Por otra parte, se considera que la función es continua en un intervalo (a, b) cuando es continua en todo punto x, tal que a < x < b.

Ejemplo de función continuidad

Discontinuidad de una función

Las Funciones Discontinuas son aquellas funciones en las que existen saltos o están rotas en alguna parte de su trazo.

En las funciones discontinuas se cumple que en los puntos cercanos a alguno de sus puntos, se producen variaciones bruscas en los valores de la función. Más adelante veremos una definición rigurosa de la continuidad de una función en un punto.

Por el contrario, se denomina función continua a aquella función en la que su curva está formada por un trazo continuo, es decir, que no está roto ni tiene saltos.

Ejemplos de Funciones Discontinuas:


Para entender mejor el concepto de función continua y discontinua mostramos a continuación varios ejemplos:

• f(x) = { 2  si x < 1

  x   si x > 1

se trata también de una función discontinua ya que en el punto x = 1 se produce un corte y un salto.

Ejemplo de una función discontinua

                                     Vídeo (funciones continuas y discontinuas)